Числа на Фибоначи | dLambow

(Fibonacci numbers) -

Кои са Числата на Фибоначи, как се образуват и за какво се използват?

Какво са числата на Фибоначи?

Последователността на Фибоначи представлява поредица от числа, където всяко следващо число е сбор от двете предходните две числа. Например:

•  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …

Числа на Фибоначи (Fibonacci numbers)

Значение на числата на Фибоначи

Числата на Фибоначи (Fibonacci numbers) са много интересна и важна тема в математиката, която има много приложения и свързаност с други области на науката и изкуството. Ето някои допълнителни факти и куриози за тях:

Кой е Фибоначи?

Леонардо Фибоначи, известен също като Леонардо Пизано Биголо или Леонардо Пизански, е италиански математик, работил през първата половина на XIII век. Така че, "числата на Фибоначи" са названи на италианския математик Леонардо Фибоначи, който ги популяризира в книгата си „Liber Abaci“ през 1202 година. Той използва редицата, за да реши задача за размножаване на зайци.

Числата на Фибоначи имат връзка с златното сечение

Златното сечение е отношението между две величини, при което по-голямата е към по-малката, както е цялото към по-голямата величина. Това отношение е приблизително равно на:

•  числото Фи (Phi), което е иррационално число, равно на (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803399. 

Съотношението между два последователни члена на редицата на Фибоначи се приближава към числото Фи, когато номерът им расте.

Числата на Фибоначи в природата

Числата на Фибоначи се срещат в много форми и модели в природата, като например:

• - броят на листата на някои растения,
• - броят на спиралите на раковините и слънчогледите,
• - пропорциите на човешкото тяло и лице,
• - разпределението на семената в плодовете и др.

Математически свойства и формули

Числата на Фибоначи имат още много математически свойства и формули, които ги свързват с други числа и последователности, като например:

• - числата на Лукас,
• - триъгълникът на Паскал,
• - биномните коефициенти,
• - числата на Каталан и др.

Създаване на алгоритми и кодове

Числата на Фибоначи са използвани за създаване на алгоритми и кодове в:

• - компютърните науки,
• - криптографията,
• - графичното изкуство и
• - дизайна.

Например, има метод за кодиране на текстова информация в изображения, използвайки числата на Фибоначи. Също така, има програмен език, базиран на числата на Фибоначи, който се нарича FiM++.

Формула за редицата на Фибоначи

Редицата на Фибоначи е последователност от числа, в която всеки следващ член е равен на сумата от предходните два. Най-простият начин да се опише редицата е със следната формула:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

където:

• - F(n) е n-тият член на редицата, а
• - F(1) = 1 и F(2) = 1 са първите два члена.

Например:

Ако искаме да намерим третия член на редицата, трябва да съберем първия и втория:

• F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

Ако искаме да намерим четвъртия член, трябва да съберем втория и третия:

• F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

И така нататък. Първите десет члена на редицата са:

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Редицата на Фибоначи има много интересни свойства и приложения в математиката, изкуството и природата.

Как се изчислява n-тото число от редицата на Фибоначи?

За да изчислите n-тото число от редицата на Фибоначи, можете да използвате един от следните методи:

Рекурсивен метод

Този метод се основава на дефиницията на редицата, която гласи, че всеки член е равен на сумата от предходните два. Формулата за този метод е:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

където:

• - F(n) е n-тият член на редицата, а
• - F(0) = 0 и F(1) = 1 са първите два члена.

Например, ако искаме да намерим петия член на редицата, трябва да изпълним следните стъпки:
F(5) = F(4) + F(3) F(5) = (F(3) + F(2)) + (F(2) + F(1)) F(5) = ((F(2) + F(1)) + (F(1) + F(0))) + ((F(1) + F(0)) + F(1)) F(5) = (((F(1) + F(0)) + F(1)) + (F(1) + 0)) + ((F(1) + 0) + F(1)) F(5) = (((1 + 0) + 1) + (1 + 0)) + ((1 + 0) + 1) F(5) = (2 + 1) + (1 + 0) + (1 + 1) F(5) = 3 + 1 + 2 F(5) = 6

Този метод е лесен за разбиране, но не е много ефективен, защото изисква много повторения и изчисления на същите стойности.

Итеративен метод

Този метод се основава на идеята, че можем да започнем от първите два члена на редицата и да генерираме следващите членове, като събираме последните два. Формулата за този метод е:

a = 0 b = 1 for i in range(n): c = a + b a = b b = c

където:

• - c е текущият член на редицата, а
• - a и b са предходните два.

Например, ако искаме да намерим петия член на редицата, трябва да изпълним следните стъпки:

• a = 0 b = 1 for i in range(5): c = a + b a = b b = c

При първата итерация имаме:

• c = 0 + 1 a = 1 b = 1

При втората итерация имаме:

• c = 1 + 1 a = 1 b = 2

При третата итерация имаме:

• c = 1 + 2 a = 2 b = 3

При четвъртата итерация имаме:

• c = 2 + 3 a = 3 b = 5

При петата итерация имаме:

• c = 3 + 5 a = 5 b = 8

След края на цикъла имаме c = 8, което е петият член на редицата. Този метод е по-бърз и по-оптимален от рекурсивния, защото избягва повторните изчисления.

Затворена формула

Този метод се основава на математическа формула, която може да изчисли n-тия член на редицата без да се нуждае от предходните членове. Формулата за този метод е:

F(n) = (φ^n - ψ^n) / √5

където:

• - F(n) е n-тият член на редицата,
• - φ е златното сечение, равно на (1 + √5) / 2, а
• - ψ е обратното златно сечение, равно на (1 - √5) / 2.

Например, ако искаме да намерим петия член на редицата, трябва да изпълним следните стъпки:
F(5) = ((1 + √5) / 2)^5 - ((1 - √5) / 2)^5 / √5 F(5) = (1.6180339887^5 - 0.6180339887^5) / 2.2360679775 F(5) = (11.090169944 - 0.090169944) / 2.2360679775 F(5) = 11 / 2.2360679775 F(5) = 4.9206611577

Този метод е най-точният и най-бързият от всички, защото използва само едно изчисление. Обаче, този метод може да даде неточни резултати за големи стойности на n, заради ограниченията на плаващата запетая.

Можете да използвате калкулатора на Фибоначи, за да проверите резултатите от различните методи. Калкулаторът ви позволява да въведете стойността на n и да видите n-тия член на редицата, както и цялата редица до този член.

-------
Ако темата ви харесва, споделете я с приятели. Ако са възникнали въпроси, задайте ги в коментарите по-долу. След седмица проверете за отговора.
----------------