Факториел ( ! ) | dLambow

 (Factorial ( ! ) -

Факториел ( ! ) - определение, символ, значения ...

Какво е факториел ( ! )?

Факториел (Factorial) се обозначава с удивителен знак ( ! ) и означава функция, определена за всички цели неотрицателни числа n, която е равна на произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n. Така, Например:

• - 0! = 1
• - 1! = 1
• - 2! = 2 х 1 = 2
• - 3! = 3 х 2 х 1 = 6
• - 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24
• - 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
• - 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• - 10! = 10 х 9 х 8 х 7 х ... х 2 х 1 = 3628800

Факториел ( ! )  (Factorial ( ! )

С прости думи...

Факториелът на дадено число е равен на произведението на всички положителни цели числа от 1 до това число. Факториел се обозначава със символа "!".

Например:

• Факториел на 5 се записва като 5! и е равен на 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
• Факториел на 0 (нула) се счита за 1, тъй като произведението на нула е винаги 1.

Факториел в математиката

В математиката, факториелът на дадено естествено число "n" е произведението на всички естествени числа от 1 до n. Използва се за броя на разпределенията на n елемента в групи. Формално, факториелът на n се дефинира по следния начин:

n! = 1 х 2 х 3 х ... х n

Примери с реални числа вижте по-горе.

Значение и приложения на факториела

Факториелът има различни приложения в математиката, информатиката и други науки. Някои от тях включват:

Алгебра

За определяне на остатъка от n по модул m.

Интегрално смятане

За определяне на някои интеграли.

Комбинаторика

Факториелът се използва при комбинаторните проблеми, като разпределението и аранжирането на обекти. Също се използва за броене на възможните подмножества на даден сет. Например, 5! / 3! = 20 е броят на възможните подмножества от 3 елемента от 5 елемента.

Аналитична геометрия

Факториелът се използва за изчисляване на обема на n-мерни обеми. Например, обемът на един куб е 3^3 х 1/3! = 27/6 = 9.

Компютърни науки

За броя на комбинациите от битове.

Физика

Факториелът се използва за изчисляване на вероятностите на квантови събития. Например, вероятността да се получи фотон с определена енергия е обратно пропорционална на квадрата на факториела на енергията на фотона.

Биология

За броя на комбинациите на гени.

Теория на вероятностите

В комбинаториката и вероятностните изчисления често се използва факториел за изчисляване на комбинаторни коефициенти. Също се използва за определяне на вероятността от събитие да се случи. Например, вероятността да се хвърли зар и да се получи четно число е 3! / 2! = 3/2.

Редици и редове

Факториелът е често замесен в формули и редици, като например реда на Тейлър за експоненциалната функция.

Алгоритми и програмиране

Факториелът се използва в различни програми за изчисляване на комбинаторни стойности, както и в рекурсивни функции.

Статистика

В статистиката се използва при оценките за стандартното отклонение и дисперсията.

Примери за използване на факториел

Ето някои примери за използването на факториела:

• - Броят на начина, по които могат да бъдат подредени 5 различни книги е 5! = 120.
• - В комбинаториката, ако имаме 5 различни бонбона и искаме да изберем 3 от тях, тогава броят на възможните комбинации е 5! / 3! = 10.
• - Броят на начина, по които могат да бъдат подбрани 3 топки от кофа с 10 топки е 10C3 = 120.
• - Вероятността да се хвърли лице на монета 5 пъти и да се получи 3 пъти ребро е 5!/(3! х 2!) = 10/12 = 5/6.
• - Остатъкът от 12 по модул 5 е 12!/5! = 24.

Заключение

Факториелът расте бързо с увеличаване на входното число, което може да представлява предизвикателство при изчисленията. В някои случаи се използват приближени методи за неговото изчисление при големи числа. Факториелът е важна математическа функция с множество приложения в различни области.

-------
Ако темата ви харесва, споделете я с приятели. Ако са възникнали въпроси, задайте ги в коментарите по-долу. След седмица проверете за отговора.
----------------